Álgebra Ejemplos

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \div \frac{9 x^{2} + 12 x + 3}{3 x^{2} - 6 x + 3}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.1.2

Factoriza $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) + 12 x (- 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.1.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $3 x^{2} - 6 x + 3$ y $9 x^{2} + 12 x + 3$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2.4

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 1}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $3$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 12 x + 3}$

Paso 3.2.6.2

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

Paso 3.2.6.3

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3}$

Paso 3.2.6.4

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

Paso 3.2.6.5

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

Paso 3.2.6.6

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

Paso 3.2.6.7

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 (x) + 1}$

Paso 5.1.2

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + (1 + 3) x + 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 1 x + 3 x + 1}$

Paso 5.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + x + 3 x + 1}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x^{2} + x) + 3 x + 1}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x + 1) (x + 1)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $3 x + 1$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

Paso 8

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x - 1$ de $(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $x - 1$ de $12 x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x - 1) (x - 1)}{12 x (x + 1)}$