Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Paso 1.3.2

Reduce la expresión $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{x - 2}{2}$ como $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Paso 1.5

Reescribe $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ como $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Paso 1.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Paso 1.7

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Paso 1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $\log_{2} (x - 2)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Paso 2.2

Suma $3$ y $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (x - 2) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x - 2 = 2^{4}$ .

$x - 2 = 2^{4}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$x - 2 = 16$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16 + 2$

Paso 4.3.2

Suma $16$ y $2$ .

$x = 18$