Álgebra Ejemplos

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Paso 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ ; para ello, mueve $x^{2} + 5 x$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{3}{4})$ como $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 4

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 5

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 7

Expande $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Paso 8

Reescribe $\ln (\frac{4}{3})$ como $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9

Resuelve la desigualdad en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3

Expande $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.2

Simplifica $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Resta $3 x \ln (4)$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Paso 9.3.2

Suma $3 x \ln (3)$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Paso 9.3.3

Suma $5 x \ln (3)$ y $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.3

Factoriza $x$ de $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.4

Factoriza $x$ de $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.5

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.6

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.7

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.8

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.9

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Paso 9.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 9.7

Establece $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1

Establece $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ igual a $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Paso 9.7.2

Resuelve $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.1.1

Resta $8 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Paso 9.7.2.1.2

Suma $10 \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Paso 9.7.2.1.3

Suma $3 \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.2.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.3

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Factoriza $2$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.2.3.3.3.6.1

Reescribe $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ como $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Paso 11.1.3

$5.66321656 E - 7$ del lado izquierdo no es mayor que $0.00017858$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Paso 11.2.3

$3.16049382$ del lado izquierdo es mayor que $0.03167635$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Paso 11.3.3

$0.01781794$ del lado izquierdo no es mayor que $5.61865569$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Paso 14