Álgebra Ejemplos

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $\sin^{2} (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ .

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Paso 2.1

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.5

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.6

Aplica la identidad pitagórica.

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $u$ de $4 u - u^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $u$ de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

Paso 3.3

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.3.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.3.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.3.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.3.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.3.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.4

Establece $4 - \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $4 - \cos (x)$ igual a $0$ .

$4 - \cos (x) = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $4 - \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 4$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $- \cos (x) = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 4$

Paso 3.4.2.3

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $4$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$