Álgebra Ejemplos

$27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$

Paso 1

Divide cada término en $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ por $27$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ por $27$ .

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Paso 1.2.1.2

Divide ${(\frac{3}{5})}^{x + 1}$ por $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{x + 1} = \frac{125}{27}$

Paso 1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} = \frac{125}{27}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $5^{x + 1}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $5^{x + 1}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$ .

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Paso 3.2.1.1

Combina $\frac{125}{27}$ y $5^{x + 1}$ .

$3^{x + 1} = \frac{125 \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{3} \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Paso 3.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{x + 1} = \frac{5^{3 + x + 1}}{27}$

Paso 3.2.1.4

Suma $3$ y $1$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{x + 4}}{27}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Paso 4.2

Expande $\ln (3^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Paso 4.3

Reescribe $\ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$ como $\ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$ .

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$

Paso 4.4

Expande $\ln (5^{x + 4})$ ; para ello, mueve $x + 4$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (27)$

Paso 4.5

Reescribe $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (3^{3})$

Paso 4.6

Expande $\ln (3^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - (3 \ln (3))$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.8.1.1

Simplifica $(x + 1) \ln (3)$ .

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Paso 4.8.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8.1.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.8.2.1

Simplifica $(x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Paso 4.8.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + 4 \ln (5) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8.2.1.1.2

Simplifica $4 \ln (5)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (5^{4}) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - 3 \ln (3)$

Paso 4.8.2.1.1.4

Simplifica $- 3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (3^{3})$

Paso 4.8.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (27)$

Paso 4.8.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (\frac{625}{27})$

Paso 4.8.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) - \ln (\frac{625}{27}) = 0$

Paso 4.8.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3}{\frac{625}{27}}) = 0$

Paso 4.8.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (3 (\frac{27}{625})) = 0$

Paso 4.8.5.2

Multiplica $3 (\frac{27}{625})$ .

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Paso 4.8.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{27}{625}$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3 \cdot 27}{625}) = 0$

Paso 4.8.5.2.2

Multiplica $3$ por $27$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{81}{625}) = 0$

Paso 4.8.6

Resta $\ln (\frac{81}{625})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Paso 4.8.7

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Paso 4.8.7.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Paso 4.8.7.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Paso 4.8.7.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Paso 4.8.8

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Paso 4.8.9

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ por $\ln (3) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.8.9.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ por $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.8.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.8.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Paso 4.8.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.8.9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.8.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.8.9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = - 4$