Álgebra Ejemplos

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Paso 2

Divide cada término en $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $\tan (θ)$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\tan (θ)$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Separa las fracciones.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (θ)}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Paso 2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.3.6

Divide $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ por $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $\sin (θ)$ .

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Paso 2.3.7.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $2 \sqrt{3} \sin (θ)$ .

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.3.7.2

Cancela el factor común.

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.3.7.3

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (θ)$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\cos (θ)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Paso 3

Reescribe la ecuación como $\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.1.1.2

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3}$ .

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Paso 5.1.1.2.1

Factoriza $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3} \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.2.1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Paso 5.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 9

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 9.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 9.3.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$