Álgebra Ejemplos

${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{2} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{2}$ y $i$ .

${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$ como $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ .

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9} + \frac{1}{3} (\sqrt{5} i) + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.3

Combina $\sqrt{5}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} i + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.4

Combina $\frac{\sqrt{5}}{3}$ y $i$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \sqrt{5} i \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3} i + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.7

Combina $\frac{\sqrt{5}}{3}$ y $i$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Paso 3.1.8

Multiplica $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

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Paso 3.1.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ por $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i (\sqrt{5} i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.7

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.8.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.9.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.1.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.9.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{1} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5 i^{2}}{4}$

Paso 3.1.9.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Paso 3.1.10

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{- 5}{4}$

Paso 3.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} - \frac{5}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{4}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.3

Para escribir $- \frac{5}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.4.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 4 - 5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$\frac{16 - 45}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.6.3

Resta $45$ de $16$ .

$\frac{- 29}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 29}{36} + \frac{2 \sqrt{5} i}{3}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{29}{36} + \frac{2 \sqrt{5} i}{3}$