Álgebra Ejemplos

${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}} = {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}} = {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}})$ como $\ln (x^{\frac{a}{3}}) + \ln (y^{\frac{a}{2}})$ .

$\ln (x^{\frac{a}{3}}) + \ln (y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.2

Expande $\ln (x^{\frac{a}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{a}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{a}{3} \ln (x) + \ln (y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.3

Expande $\ln (y^{\frac{a}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{a}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{a}{3} \ln (x) + \frac{a}{2} \ln (y) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.4

Combina $\frac{a}{3}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a}{2} \ln (y) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.5

Combina $\frac{a}{2}$ y $\ln (y)$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 4.1.1

Multiplica ${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}})$

Paso 4.1.1.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}})$

Paso 4.1.1.3

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.1.1.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.1.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}})$

Paso 4.1.1.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}})$

Paso 4.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3 + 2}{6}})$

Paso 4.1.1.6

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2})}^{\frac{5}{6}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 (\frac{5}{6})} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 \frac{5}{2 (3)}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 \frac{5}{2 \cdot 3}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Paso 4.1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 4.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 (\frac{5}{6})})$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 \frac{5}{3 (2)}})$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 \frac{5}{3 \cdot 2}})$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 5

Multiplica cada término en $\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ por $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot 6 + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$a \ln (x) \cdot 2 + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $a \ln (x)$ .

$2 \cdot (a \ln (x)) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 a \ln (x) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot (2 (3)) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$2 a \ln (x) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot (2 \cdot 3) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$2 a \ln (x) + a \ln (y) \cdot 3 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.2.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $a \ln (y)$ .

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ .

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) - 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) = 0$

Paso 7

Suma $6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ a ambos lados de la ecuación.

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 8

Factoriza $a$ de $2 a \ln (x) + 3 a \ln (y)$ .

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Paso 8.1

Factoriza $a$ de $2 a \ln (x)$ .

$a (2 \ln (x)) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 8.2

Factoriza $a$ de $3 a \ln (y)$ .

$a (2 \ln (x)) + a (3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 8.3

Factoriza $a$ de $a (2 \ln (x)) + a (3 \ln (y))$ .

$a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Paso 9

Divide cada término en $a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ por $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ por $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ .

$\frac{a (2 \ln (x) + 3 \ln (y))}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)} = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a (2 \ln (x) + 3 \ln (y))}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)} = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$