Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \div \frac{2 x - 10}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x - 10}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x - 10}$

Paso 4

Factoriza $2$ de $2 x - 10$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) - 10}$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x - 5)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x - 5$ de $2 (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x - 2$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$(x + 1) \frac{x + 2}{2}$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{x + 2}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Paso 8

Combina $x$ y $\frac{x + 2}{2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Paso 9

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $1$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + \frac{x + 2}{2}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 2) + x + 2}{2}$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Paso 11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Paso 11.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Paso 12

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Paso 13

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{2}$

Paso 14

Expande $(x + 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 2) + 1 (x + 2)}{2}$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{2}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Paso 15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Paso 15.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Paso 15.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{2}$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Paso 15.2

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Paso 16

Divide la fracción $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2} + 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 17

Divide la fracción $\frac{x^{2} + 3 x}{2}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 18

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + 1$