Álgebra Ejemplos

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Paso 1

Reemplaza $2 \sec^{2} (θ)$ con $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Paso 3

Reordena el polinomio.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Paso 4

Sustituye $u = \tan^{2} (θ)$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Paso 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Paso 6

Suma $2$ y $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Paso 7.1.3

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Paso 7.2

Factoriza.

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Paso 7.2.1

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 7.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 9

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 9.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 10

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 10.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, - 1$

Paso 12

Sustituye el valor real de $u = \tan^{2} (θ)$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Paso 13

Resuelve la primera ecuación para $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $\tan (θ)$ .

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Paso 14.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Paso 14.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 14.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Paso 14.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Paso 14.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 15

Resuelve la segunda ecuación para $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $\tan (θ)$ .

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Paso 16.1

Elimina los paréntesis.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Paso 16.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 16.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Paso 16.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 16.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = i$

Paso 16.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - i$

Paso 16.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = i, - i$

Paso 17

La solución a $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ es $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Paso 18

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Paso 19

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Paso 19.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Paso 19.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.2.1

El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 19.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + \frac{π}{3}$

Paso 19.4

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Paso 19.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 19.4.2

Combina fracciones.

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Paso 19.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 19.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Paso 19.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Paso 19.4.3.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 19.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 19.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 19.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 19.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 19.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 19.6

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 20

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Paso 20.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 20.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 20.2.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Paso 20.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Paso 20.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 20.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 20.4.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 20.5

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 20.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 20.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 20.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 20.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 20.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 20.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Paso 20.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 20.6.3

Combina fracciones.

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Paso 20.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 20.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 20.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 20.6.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 20.6.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 20.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 20.7

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 21

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = i$ .

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Paso 21.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (i)$

Paso 21.2

La inversa de la tangente de $\arctan (i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 22

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - i$ .

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Paso 22.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- i)$

Paso 22.2

La inversa de la tangente de $\arctan (- i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 23

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 24

Consolida las soluciones.

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Paso 24.1

Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 24.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$