Álgebra Ejemplos

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ por $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 2.2

Combinar.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $p^{2} - q^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $p^{2} - q^{2}$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $q - p$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $q - p$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $p + q$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $p + q$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $(p + q) q$ de $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $(p + q) q$ de $(q - p) (p + q) (p q)$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.1.2

Factoriza $(p + q) q$ de $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.1.3

Factoriza $(p + q) q$ de $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.3

Multiplica $p$ por $p$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1

Mueve $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.3.2

Multiplica $p$ por $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.4

Suma $- p^{2}$ y $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.5

Suma $q p$ y $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.6

Factoriza $q$ de $q p - q^{2}$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $q$ de $q p$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.6.2

Factoriza $q$ de $- q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.6.3

Factoriza $q$ de $q (p) + q (- q)$ .

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.7

Combina exponentes.

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Paso 5.7.1

Eleva $q$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.7.2

Eleva $q$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 5.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Factoriza $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.1.2

Factoriza $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.1.3

Factoriza $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.1.4

Factoriza $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = p$ y $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3

Combina exponentes.

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Paso 6.3.1

Factoriza $- 1$ de $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.2

Factoriza $- 1$ de $- q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.4

Reordena los términos.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.5

Eleva $- p + q$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.6

Eleva $- p + q$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.4

Factoriza el negativo.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.2

Multiplica $p$ por $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.6

Multiplica $q$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.6.1

Mueve $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.5.6.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.6

Combina los términos opuestos en $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

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Paso 6.6.1

Reordena los factores en los términos $q p$ y $- p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.6.2

Resta $p q$ de $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.6.3

Suma $p^{2}$ y $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Paso 6.6.4

Resta $p^{2}$ de $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Paso 6.6.5

Suma $- q^{2} + 4 q^{2}$ y $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Paso 6.7

Suma $- q^{2}$ y $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Paso 6.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $p + q$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $q^{2}$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $p - q$ y ${(- p + q)}^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $- 1$ de $p$ .

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- q$ .

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Paso 7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Paso 7.3.4

Factoriza $- p + q$ de $- 1 (- p + q)$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Paso 7.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.5.1

Factoriza $- p + q$ de $- 3 {(- p + q)}^{2}$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Paso 7.3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Paso 7.3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Paso 7.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- p$ .

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $q$ .

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (p) - 1 (- q)$ .

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Paso 7.8

Reescribe los negativos.

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Paso 7.8.1

Reescribe $- (p - q)$ como $- 1 (p - q)$ .

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Paso 7.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$