Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt{1 - x^{3}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{1 - y^{3}}$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{3}} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - y^{3}}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - y^{3}}$ como ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$1 - y^{3} = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} = x^{2} - 1$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $- y^{3} = x^{2} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $- y^{3} = x^{2} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{3} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - x^{2} + 1$

Paso 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 1}$

Paso 2.4.4

Simplifica $\sqrt[3]{- x^{2} + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.4.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.4.4.1.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{1^{2} - x^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{1 - x^{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1 - x^{3}}) (1 - (\sqrt{1 - x^{3}}))}$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1 - x^{3}}) (1 - (\sqrt{1 - x^{3}}))}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1^{3} - x^{3}}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Paso 4.2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Paso 4.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Paso 4.2.6

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1^{3} - x^{3}})}$

Paso 4.2.7

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})})}$

Paso 4.2.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.8.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})})}$

Paso 4.2.8.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})})}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1 - {(\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)})}^{3}}$

Paso 4.3.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1^{3} - {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}$

Paso 4.3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Paso 4.3.5.3

Reescribe ${\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

Paso 4.3.5.4

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$