Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ como ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica los exponentes en ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.5.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Paso 4.2

Reescribe $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ como $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Paso 4.3

Expande $\ln (3^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Paso 4.4

Elimina los paréntesis.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Paso 4.5

Reescribe $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ como $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Paso 4.6

Expande $\ln (3^{4 x + 2})$ ; para ello, mueve $4 x + 2$ fuera del logaritmo.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Paso 4.7

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Paso 4.8

Resta $(4 x + 2) \ln (3)$ de $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Paso 4.9

Elimina los paréntesis.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 4.10.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.10.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.10.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.1.1.4

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.1.3

Multiplica $27$ por $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Paso 4.10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.10.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Paso 4.10.2.2

Multiplica.

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Paso 4.10.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Paso 4.10.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Paso 4.10.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Paso 4.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.10.3.1

Simplifica $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

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Paso 4.10.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.10.3.1.1.1

Simplifica $- 4 \ln (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Paso 4.10.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Paso 4.10.3.1.1.3

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Paso 4.10.3.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Paso 4.10.3.1.2

Reordena los factores en $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Paso 4.10.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Paso 4.10.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Paso 4.10.6

Multiplica $81$ por $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Paso 4.10.7

Resta $\ln (729)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Paso 4.10.8

Factoriza $x$ de $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

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Paso 4.10.8.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Paso 4.10.8.2

Factoriza $x$ de $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Paso 4.10.8.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Paso 4.10.9

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Paso 4.10.10

Divide cada término en $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ por $- \ln (3) + \ln (81)$ y simplifica.

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Paso 4.10.10.1

Divide cada término en $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ por $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Paso 4.10.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.10.10.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (3) + \ln (81)$ .

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Paso 4.10.10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Paso 4.10.10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Paso 4.10.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.10.10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Paso 4.10.10.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Paso 4.10.10.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Paso 4.10.10.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Paso 4.10.10.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.10.10.3.5.1

Reescribe $- (\ln (3) - \ln (81))$ como $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Paso 4.10.10.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Paso 4.10.10.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Paso 4.10.10.3.5.4

Multiplica $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Paso 5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Paso 7