Álgebra Ejemplos

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120$ y cuya suma es $b = - 22$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 22$ de $- 22 a$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 (a) + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 22$ como $- 10$ más $- 12$

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} + (- 10 - 12) a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 10 a - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(8 a^{2} - 10 a) - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{2 a (4 a - 5) - 3 (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 a - 5$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} \cdot \frac{4 a - 5}{4 a - 5} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ por $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(4 a - 5) (2 a - 3)$ .

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(2 a - 1) (4 a - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a (4 a - 5) - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot 4 a \cdot a + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 (a \cdot a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.2.2

Resta $4 a$ de $- 10 a$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2}) - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.5

Resta $2 a^{2}$ de $8 a^{2}$ .

$\frac{6 a^{2} - 14 a + 5 + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.6

Suma $- 14 a$ y $5 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 5 - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 5.7

Resta $4$ de $5$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Paso 6

Para escribir $- \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5} \cdot \frac{2 a - 3}{2 a - 3}$

Paso 7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ por $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(4 a - 5) (2 a - 3)}$

Paso 7.2

Reordena los factores de $(4 a - 5) (2 a - 3)$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - (3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- (3 a) - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a + 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.4

Expande $(- 3 a + 2) (2 a - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a - 3) + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a \cdot a - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 9.5.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 (a \cdot a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.1.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.5.2

Suma $9 a$ y $4 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.6

Resta $6 a^{2}$ de $6 a^{2}$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 0 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.7

Suma $- 9 a$ y $0$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.8

Suma $- 9 a$ y $13 a$ .

$\frac{4 a + 1 - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 9.9

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 10

Cancela el factor común de $4 a - 5$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 a - 3}$