Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x^{3} - x^{2}) - x + 1}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} (x - 1) - (x - 1)}$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 2.5

Combina exponentes.

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Paso 2.5.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)}$

Paso 2.5.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)}$

Paso 2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Paso 2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$