Álgebra Ejemplos

$\cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Resuelve $θ$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = 2 (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = 2 \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = 2 \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica $2 \frac{4 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Paso 7

Obtén el período de $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 7.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 8

El período de la función $\cos (\frac{θ}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{4 π}{3} + 4 π n, \frac{8 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$