Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ como una ecuación.

$y = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}} = x$ .

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{3} + 5)}^{1} = x^{5}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$y^{3} + 5 = x^{5}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = x^{5} - 5$

Paso 3.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$ es la inversa de $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 5}$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 5}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 5}$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{(x^{3} + 5) - 5}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3} + 5 - 5}$

Paso 5.2.5

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.2.6

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{x^{5} - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(\sqrt[3]{x^{5} - 5})}^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{5} - 5}}^{3}$ como $x^{5} - 5$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{5} - 5}$ como ${(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({({(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {((x^{5} - 5) + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5} - 5 + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $x^{5} - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $x^{5}$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$ es la inversa de $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$