Álgebra Ejemplos

$\frac{7 x - 14}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \div \frac{x + 4}{4 x^{2} - 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{7 x - 14}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 2

Factoriza $7$ de $7 x - 14$ .

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Paso 2.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{7 (x) - 14}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 2.2

Factoriza $7$ de $- 14$ .

$\frac{7 x + 7 \cdot - 2}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 2.3

Factoriza $7$ de $7 x + 7 \cdot - 2$ .

$\frac{7 (x - 2)}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 3 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{7 (x - 2)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x + 1) (x - 2)} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x - 2$ de $7 (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x + 1) (x - 2)} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x - 2$ de $(2 x + 1) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x - 2) (2 x + 1)} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) \cdot 7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x - 2) (2 x + 1)} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 1} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x - 4$ de $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 x + 1} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 x + 1} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{2 x + 1} \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{7}{x + 1}$ por $\frac{x + 4}{2 x + 1}$ .

$\frac{7 (x + 4)}{(x + 1) (2 x + 1)} \cdot \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x + 4$ de $7 (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 7}{(x + 1) (2 x + 1)} \cdot \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) \cdot 7}{(x + 1) (2 x + 1)} \cdot \frac{4 x^{2} - 1}{x + 4}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{(x + 1) (2 x + 1)} (4 x^{2} - 1)$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{7}{(x + 1) (2 x + 1)}$ por $4 x^{2} - 1$ .

$\frac{7 (4 x^{2} - 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{7 ({(2 x)}^{2} - 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{7 ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$\frac{7 (2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 (2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 (2 x - 1)}{x + 1}$