Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\sec (θ) \cdot 2$

Paso 5

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec (θ)}{2}$

Paso 6

Reemplaza $\tan^{2} (θ)$ con $\sec^{2} (θ) - 1$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7

Divide $2$ por $2$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8

Multiplica $\sec^{2} (θ) - 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9

Sustituye $u$ por $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10

Simplifica $\frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 10.1

Reescribe.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot 1$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{3 u}{2}$ por $1$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Paso 11

Resta $\frac{3 u}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Paso 12

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 u}{2}$ al numerador.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Paso 12.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Paso 12.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Paso 12.3

Mueve $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Paso 13

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 14

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 3$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 15.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Paso 15.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 15.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 15.1.3

Suma $9$ y $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Paso 15.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 15.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Paso 16

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Paso 16.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.1.3

Suma $9$ y $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 16.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Paso 16.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Paso 16.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Paso 16.4

Suma $3$ y $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Paso 16.5

Divide $8$ por $4$ .

$u = 2$

Paso 17

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 17.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Paso 17.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 17.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 17.1.3

Suma $9$ y $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Paso 17.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 17.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Paso 17.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Paso 17.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Paso 17.4

Resta $5$ de $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Paso 17.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 17.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Paso 17.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 17.5.2.2

Cancela el factor común.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 17.5.2.3

Reescribe la expresión.

$u = \frac{- 1}{2}$

Paso 17.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Paso 18

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Paso 19

Sustituye $\sec (θ)$ por $u$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Paso 20

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 21

Resuelve $θ$ en $\sec (θ) = 2$ .

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Paso 21.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$θ = arcsec (2)$

Paso 21.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 21.2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 21.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 21.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 21.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 21.4.2

Combina fracciones.

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Paso 21.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 21.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 21.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 21.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 21.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 21.5

Obtén el período de $\sec (θ)$ .

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Paso 21.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 21.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 21.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 21.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 21.6

El período de la función $\sec (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 22

Resuelve $θ$ en $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 22.1

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $- \frac{1}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 23

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$