Álgebra Ejemplos

${(x + 3)}^{2} \geq 2 (x^{2} + 7)$

Paso 1

Simplifica $2 (x^{2} + 7)$ .

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 2 \cdot 7$

Paso 1.2

Multiplica $2$ por $7$ .

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 14$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 2.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

${(x + 3)}^{2} - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.2.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Paso 2.3

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 \geq 14$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 6 x + 9 = 14$

Paso 4

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 6 x + 9 - 14 = 0$

Paso 5

Resta $14$ de $9$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Paso 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 6 x - 5$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Paso 6.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Paso 6.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Paso 6.2

Factoriza.

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Paso 6.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Paso 6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 8

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 8.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 9

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, 1$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${((0) + 3)}^{2} \geq 2 ({(0)}^{2} + 7)$

Paso 12.1.3

$9$ del lado izquierdo es menor que $14$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${((3) + 3)}^{2} \geq 2 ({(3)}^{2} + 7)$

Paso 12.2.3

$36$ del lado izquierdo es mayor que $32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${((8) + 3)}^{2} \geq 2 ({(8)}^{2} + 7)$

Paso 12.3.3

$121$ del lado izquierdo es menor que $142$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 \leq x \leq 5$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1 \leq x \leq 5$

Notación de intervalo:

$[1, 5]$

Paso 15