Álgebra Ejemplos

$2 \cos (\frac{x}{3}) - \sqrt{2} = 0$

Paso 1

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (\frac{x}{3}) = \sqrt{2}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \cos (\frac{x}{3}) = \sqrt{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \cos (\frac{x}{3}) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (\frac{x}{3})}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{3})}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\cos (\frac{x}{3})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Paso 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Paso 6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Combina $3$ y $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{4})$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $3 (2 π - \frac{π}{4})$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 8.2.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.2.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Paso 8.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 8.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = 3 \frac{8 π - π}{4}$

Paso 8.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = 3 \frac{7 π}{4}$

Paso 8.2.2.1.4

Multiplica $3 \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Combina $3$ y $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (7 π)}{4}$

Paso 8.2.2.1.4.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$x = \frac{21 π}{4}$

Paso 9

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{3})$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 9.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 9.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 10

El período de la función $\cos (\frac{x}{3})$ es $6 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $6 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$