Álgebra Ejemplos

$x - 6 > \frac{4}{x}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$(x - 6) x = \frac{4}{x} x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(x - 6) x$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 6 x = \frac{4}{x} x$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 6 x = 4$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 6 x - 4 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Suma $36$ y $16$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{13}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + \sqrt{13}, 3 - \sqrt{13}$

Paso 4

Obtén el dominio de $x - 6 - \frac{4}{x}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 3 - \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < x < 0$

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$

$x > 3 + \sqrt{13}$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 3 - \sqrt{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 3 - \sqrt{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$(- 3) - 6 > \frac{4}{- 3}$

Paso 6.1.3

$- 9$ del lado izquierdo no es mayor que $- 1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $3 - \sqrt{13} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $3 - \sqrt{13} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.3$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.3$ en la desigualdad original.

$(- 0.3) - 6 > \frac{4}{- 0.3}$

Paso 6.2.3

$- 6.3$ del lado izquierdo es mayor que $- 13.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) - 6 > \frac{4}{3}$

Paso 6.3.3

$- 3$ del lado izquierdo no es mayor que $1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3 + \sqrt{13}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3 + \sqrt{13}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$(9) - 6 > \frac{4}{9}$

Paso 6.4.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{4}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 3 - \sqrt{13}$ Falso

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Falso

$x > 3 + \sqrt{13}$ Verdadero

$x < 3 - \sqrt{13}$ Falso

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Falso

$x > 3 + \sqrt{13}$ Verdadero

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ o $x > 3 + \sqrt{13}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$3 - \sqrt{13} < x < 0 or x > 3 + \sqrt{13}$

Notación de intervalo:

$(3 - \sqrt{13}, 0) \cup (3 + \sqrt{13}, \infty)$

Paso 9