Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 x}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $2 x$ .

$(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x)$ .

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Paso 2.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{5 x} (2 x) + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 (x)) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{5} x = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.1.4

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $2 \frac{4}{5 x}$ .

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Paso 2.1.1.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{4}{5 x}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{5} + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.1.1.3

Reordena $\frac{8}{5}$ y $\frac{x}{5}$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{3}{2 x} (2 x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 (x)} x$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Paso 2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 3$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{8}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{5} = 3 - \frac{8}{5}$

Paso 3.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{8}{5}$

Paso 3.1.3

Combina $3$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{8}{5}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5 - 8}{5}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{x}{5} = \frac{15 - 8}{5}$

Paso 3.1.5.2

Resta $8$ de $15$ .

$\frac{x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 3.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = 7$

Paso 4

Obtén el dominio de $- \frac{7}{10 x} + \frac{1}{10}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{7}{10 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$10 x = 0$

Paso 4.2

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $10 x = 0$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $0$ por $10$ .

$x = 0$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{5 (- 2)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (- 2)}$

Paso 6.1.3

$- 0.3$ del lado izquierdo no es menor que $- 0.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{5 (4)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (4)}$

Paso 6.2.3

$0.3$ del lado izquierdo es menor que $0.375$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{5 (10)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (10)}$

Paso 6.3.3

$0.18$ del lado izquierdo no es menor que $0.15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 7$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 7$

Notación de intervalo:

$(0, 7)$

Paso 9