Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 3} \div \frac{2 x + 8}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 4^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{2 x + 8}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 8}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $2 x + 8$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x) + 8}$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x + 4)}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x + 4)}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $x + 4$ de $2 (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 4) \cdot 2}$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 4) \cdot 2}$

Paso 4.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 4}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(x + 4) \frac{x - 3}{2}$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{x - 3}{2} + 4 \frac{x - 3}{2}$

Paso 4.2.4

Combina $x$ y $\frac{x - 3}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 4 \frac{x - 3}{2}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 (2) \frac{x - 3}{2}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 \cdot 2 \frac{x - 3}{2}$

Paso 4.2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 (x - 3)$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 x + 2 \cdot - 3$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 x - 6$

Paso 5

Obtén el denominador común

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Paso 5.1

Escribe $2 x$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x}{1} - 6$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{2 x}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{2 x}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} - 6$

Paso 5.4

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 5.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 3) + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 12}{2}$

Paso 6.3

Suma $- 3 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 12}{2}$

Paso 7

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{2}$