Álgebra Ejemplos

$2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0$

Paso 1

Reescribe $2^{x + 1}$ como $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Paso 2

Reescribe $2^{2 x}$ como exponenciación.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2 - 8 = 0$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Factoriza $u^{2} - 2 u - 8$ con el método AC.

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Paso 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Paso 6.3

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 6.4

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.4.1

Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Paso 6.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 4) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = 4, - 2$

Paso 7

Sustituye $4$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Paso 8

Resuelve $4 = 2^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Paso 8.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{2}$

Paso 8.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 9

Sustituye $- 2$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Paso 10

Resuelve $- 2 = 2^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Paso 10.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 2)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 10.4

No hay soluciones para $2^{x} = - 2$

No hay solución

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 2$