Álgebra Ejemplos

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ ; para ello, mueve $x^{2} + 5 x$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{3}{4})$ como $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 4

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 5

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Paso 7

Expande $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Paso 8

Reescribe $\ln (\frac{4}{3})$ como $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 9.1

Simplifica $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Paso 9.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3

Expande $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.1.4.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Paso 9.2

Simplifica $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 9.3.1

Resta $3 x \ln (4)$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Paso 9.3.2

Suma $3 x \ln (3)$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Paso 9.3.3

Suma $5 x \ln (3)$ y $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.3

Factoriza $x$ de $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.4

Factoriza $x$ de $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Paso 9.4.5

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.6

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.7

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.8

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.4.9

Factoriza $x$ de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Paso 9.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Paso 9.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 9.7

Establece $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.7.1

Establece $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ igual a $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Paso 9.7.2

Resuelve $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ en $x$ .

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Paso 9.7.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.7.2.1.1

Resta $8 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Paso 9.7.2.1.2

Suma $10 \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Paso 9.7.2.1.3

Suma $3 \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

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Paso 9.7.2.2.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.2.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Paso 9.7.2.3

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 9.7.2.3.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.7.2.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Paso 9.7.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.7.2.3.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 9.7.2.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

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Paso 9.7.2.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.3.2

Factoriza $2$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.7.2.3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.7.2.3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 9.7.2.3.3.3.6.1

Reescribe $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ como $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.7.2.3.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 9.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Paso 11.1.3

$5.66321656 E - 7$ del lado izquierdo no es mayor que $0.00017858$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Paso 11.2.3

$3.16049382$ del lado izquierdo es mayor que $0.03167635$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Paso 11.3.3

$0.01781794$ del lado izquierdo no es mayor que $5.61865569$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Paso 14