Álgebra Ejemplos

$f (x) = (4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3))$

Paso 1

Establece $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3))$ igual a $0$ .

$(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 13 = 0$

$\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2

Establece $4 x - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.1

Establece $4 x - 13$ igual a $0$ .

$4 x - 13 = 0$

Paso 2.2.2

Resuelve $4 x - 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 13$

Paso 2.2.2.2

Divide cada término en $4 x = 13$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 13$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 2.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{13}{4}$

Paso 2.3

Establece $\ln ((2 x - 7) (x - 3))$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $\ln ((2 x - 7) (x - 3))$ igual a $0$ .

$\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ((2 x - 7) (x - 3))} = e^{0}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe $\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = (2 x - 7) (x - 3)$

Paso 2.3.2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe la ecuación como $(2 x - 7) (x - 3) = e^{0}$ .

$(2 x - 7) (x - 3) = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2

Simplifica $(2 x - 7) (x - 3)$ .

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Paso 2.3.2.3.2.1

Expande $(2 x - 7) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x - 3) - 7 (x - 3) = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 7 (x - 3) = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.3.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 x^{2} - 6 x - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 3$ .

$2 x^{2} - 6 x - 7 x + 21 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.2.2.2

Resta $7 x$ de $- 6 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 21 = e^{0}$

Paso 2.3.2.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 x^{2} - 13 x + 21 = 1$

Paso 2.3.2.3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 13 x + 21 - 1 = 0$

Paso 2.3.2.3.5

Resta $1$ de $21$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 0$

Paso 2.3.2.3.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.2.3.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 20 = 40$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 2.3.2.3.6.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 0$

Paso 2.3.2.3.6.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 5$ más $- 8$

$2 x^{2} + (- 5 - 8) x + 20 = 0$

Paso 2.3.2.3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = 0$

Paso 2.3.2.3.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.3.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 5 x) - 8 x + 20 = 0$

Paso 2.3.2.3.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = 0$

Paso 2.3.2.3.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x - 4) = 0$

Paso 2.3.2.3.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.2.3.8

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.3.8.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 2.3.2.3.8.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.3.8.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 2.3.2.3.8.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.3.8.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.3.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.3.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.3.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.3.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.3.9

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.3.9.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.2.3.9.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.2.3.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 5) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{5}{2}, 4$

Paso 2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{13}{4}, \frac{5}{2}, 4$

Paso 2.5

Excluye las soluciones que no hagan que $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{5}{2}, 4$

Paso 3