Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (θ) = - \frac{3}{2} \sec (θ)$

Paso 1

Reemplaza $\tan^{2} (θ)$ con $\sec^{2} (θ) - 1$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = - \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

Paso 2

Sustituye $u$ por $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Paso 3

Simplifica $- \frac{3}{2} u$ .

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Paso 3.1

Reescribe.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{2} u$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$u^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Paso 3.3

Combina $u$ y $\frac{3}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 3}{2}$

Paso 3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{3 u}{2}$

Paso 4

Suma $\frac{3 u}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 + \frac{3 u}{2} = 0$

Paso 5

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} - 2 + 3 u = 0$

Paso 5.3

Mueve $- 2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Paso 6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 3$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.3

Suma $9$ y $16$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm 5}{4}$

Paso 9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Paso 10

Sustituye $\sec (θ)$ por $u$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}, - 2$

Paso 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - 2$

Paso 12

Resuelve $θ$ en $\sec (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 12.1

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $\frac{1}{2}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 13

Resuelve $θ$ en $\sec (θ) = - 2$ .

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Paso 13.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$θ = arcsec (- 2)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 13.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 13.4

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 13.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 13.4.2

Combina fracciones.

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Paso 13.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 13.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 13.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 13.4.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 13.5

Obtén el período de $\sec (θ)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.6

El período de la función $\sec (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$