Álgebra Ejemplos

$\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$m, n, m n, 1$

Paso 1.2

Como $m, n, m n, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ .

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.6

El factor para $m^{1}$ es $m$ en sí mismo.

$m^{1} = m$

$m$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El factor para $n^{1}$ es $n$ en sí mismo.

$n^{1} = n$

$n$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El factor para $m^{1}$ es $m$ en sí mismo.

$m^{1} = m$

$m$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.9

El factor para $n^{1}$ es $n$ en sí mismo.

$n^{1} = n$

$n$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.10

El MCM de $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$m \cdot n$

Paso 1.11

Multiplica $m$ por $n$ .

$m n$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ por $m n$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ por $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $m$ de $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m (n)) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$(x + m) n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x n + m n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x + n}{n}$ al numerador.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.3.2

Factoriza $n$ de $m n$ .

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$x n + m n - (x + n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x n + m n + (- x - n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x n + m n - x m - n m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.2

Combina los términos opuestos en $x n + m n - x m - n m$ .

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Paso 2.2.2.1

Reordena los factores en los términos $m n$ y $- n m$ .

$x n + m n - x m - m n = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.2.2

Resta $m n$ de $m n$ .

$x n - x m + 0 = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.2.2.3

Suma $x n - x m$ y $0$ .

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $m n$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 (m n)$

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x n - x m$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x n$ .

$x (n) - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- x m$ .

$x (n) + x (- 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x (n) + x (- 1 m)$ .

$x (n - 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Paso 3.2

Reescribe $- 1 m$ como $- m$ .

$x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Paso 3.3

Divide cada término en $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ por $n - m$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ por $n - m$ .

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $n - m$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Combina en una fracción.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{m^{2} + n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{m^{2} + n^{2} - 2 m n}{n - m}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.3.3.2.1

Reorganiza los términos.

$x = \frac{m^{2} - 2 m n + n^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 m n = 2 \cdot m \cdot n$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$x = \frac{m^{2} - 2 \cdot m \cdot n + n^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$x = \frac{{(m - n)}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3

Cancela el factor común de ${(m - n)}^{2}$ y $n - m$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $m$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - n)}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- n$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - (n))}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- m) - (n)$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m + n))}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.4

Aplica la regla del producto a $- 1 (- m + n)$ .

$x = \frac{{(- 1)}^{2} {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.6

Multiplica ${(- m + n)}^{2}$ por $1$ .

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Paso 3.3.3.3.7

Reordena los términos.

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{- m + n}$

Paso 3.3.3.3.8

Factoriza $- m + n$ de ${(- m + n)}^{2}$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{- m + n}$

Paso 3.3.3.3.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.3.9.1

Multiplica por $1$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Paso 3.3.3.3.9.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Paso 3.3.3.3.9.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- m + n}{1}$

Paso 3.3.3.3.9.4

Divide $- m + n$ por $1$ .

$x = - m + n$