Álgebra Ejemplos

$6 > z (10 - z)$

Paso 1

Reescribe para que $z$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$z (10 - z) < 6$

Paso 2

Simplifica $z (10 - z)$ .

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Paso 2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$z \cdot 10 + z (- z) < 6$

Paso 2.1.2

Reordena.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $10$ a la izquierda de $z$ .

$10 \cdot z + z (- z) < 6$

Paso 2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$10 \cdot z - z \cdot z < 6$

Paso 2.2

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Mueve $z$ .

$10 z - (z \cdot z) < 6$

Paso 2.2.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$10 z - z^{2} < 6$

Paso 3

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$10 z - z^{2} - 6 < 0$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$10 z - z^{2} - 6 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 10$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 6)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 6$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.3

Resta $24$ de $100$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$ .

$z = 5 \pm \sqrt{19}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$z = 5 + \sqrt{19}, 5 - \sqrt{19}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$z < 5 - \sqrt{19}$

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$

$z > 5 + \sqrt{19}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $z < 5 - \sqrt{19}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $z < 5 - \sqrt{19}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $z$ con $0$ en la desigualdad original.

$6 > (0) (10 - (0))$

Paso 10.1.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 5$

Paso 10.2.2

Reemplaza $z$ con $5$ en la desigualdad original.

$6 > (5) (10 - (5))$

Paso 10.2.3

$6$ del lado izquierdo no es mayor que $25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $z > 5 + \sqrt{19}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $z > 5 + \sqrt{19}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 12$

Paso 10.3.2

Reemplaza $z$ con $12$ en la desigualdad original.

$6 > (12) (10 - (12))$

Paso 10.3.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $- 24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$z < 5 - \sqrt{19}$ Verdadero

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Falso

$z > 5 + \sqrt{19}$ Verdadero

$z < 5 - \sqrt{19}$ Verdadero

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Falso

$z > 5 + \sqrt{19}$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$z < 5 - \sqrt{19}$ o $z > 5 + \sqrt{19}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$z < 5 - \sqrt{19} or z > 5 + \sqrt{19}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 5 - \sqrt{19}) \cup (5 + \sqrt{19}, \infty)$

Paso 13