Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) = 1$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2)$ .

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Paso 2.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1.1

Simplifica $- 3 \log_{3} (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (x) - \log_{3} (2^{3}) = 1$

Paso 2.1.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\log_{3} (x) - \log_{3} (8) = 1$

Paso 2.1.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x}{8}$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{8} = 3^{1}$ .

$\frac{x}{8} = 3$

Paso 2.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $8$ .

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Paso 2.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Paso 2.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 8 \cdot 3^{1}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.1

Simplifica $8 \cdot 3^{1}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Evalúa el exponente.

$x = 8 \cdot 3$

Paso 2.3.3.2.1.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$x = 24$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{3} (\frac{x}{8}) - 1$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{3} (\frac{x}{8})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x}{8} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Multiplica ambos lados por $8$ .

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x > 0 \cdot 8$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica $0$ por $8$ .

$x > 0$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 24$

$x > 24$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (- 2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 24$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 24$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Paso 5.2.3

$- 1.2618595$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 24$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 24$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 26$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $26$ en la desigualdad original.

$\log_{3} (26) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Paso 5.3.3

$1.07285801$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 24$ Verdadero

$x > 24$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 24$ Verdadero

$x > 24$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x \leq 24$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x \leq 24$

Notación de intervalo:

$(0, 24]$

Paso 8