Álgebra Ejemplos

${(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.5

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.1.6

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Paso 5

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$1.45710678 \dots$