Álgebra Ejemplos

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \div \frac{20 y^{2}}{y^{2} - 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{20 y^{2}}$

Paso 2

Cancela el factor común de $5 y$ .

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Paso 2.1

Factoriza $5 y$ de $20 y^{2}$ .

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{5 y (4 y)}$

Paso 2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{5 y (4 y)}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{4 y}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{y^{2} + 4 y + 4}$ por $\frac{y^{2} - 4}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - 4}{(y^{2} + 4 y + 4) (4 y)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2^{2}}{(y^{2} + 4 y + 4) \cdot 4 y}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 4 y + 4) \cdot 4 y}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 4 y + 2^{2}) \cdot 4 y}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 4 y}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{{(y + 2)}^{2} \cdot 4 y}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $y + 2$ de ${(y + 2)}^{2} \cdot 4 y$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y + 2) ((y + 2) \cdot 4 y)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y + 2) ((y + 2) \cdot 4 y)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 2}{(y + 2) \cdot 4 y}$

Paso 7

Mueve $4$ a la izquierda de $y + 2$ .

$\frac{y - 2}{4 \cdot (y + 2) y}$

Paso 8

Reordena los factores en $\frac{y - 2}{4 (y + 2) y}$ .

$\frac{y - 2}{4 y (y + 2)}$

Paso 9

Divide la fracción $\frac{y - 2}{4 y (y + 2)}$ en dos fracciones.

$\frac{y}{4 y (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Paso 10

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{4 y (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Paso 11

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 (- 1)}{4 y (y + 2)}$

Paso 11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $4 y (y + 2)$ .

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y (y + 2))}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y (y + 2))}$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{- 1}{2 y (y + 2)}$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4 (y + 2)} - \frac{1}{2 y (y + 2)}$