Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 {(x)}^{2} + 5 \sqrt{x + 2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{x + 2} d x$

Paso 6

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{u} d u$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

La función $F$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$F (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$