Álgebra Ejemplos

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Paso 2

Expande $\ln (4^{3 x + 2})$ ; para ello, mueve $3 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Paso 3

Reescribe $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ como $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ .

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

Paso 4

Expande $\ln (8^{2 x})$ ; para ello, mueve $2 x$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(3 x + 2) \ln (4)$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5.1.1.2

Simplifica $3 \ln (4)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5.1.1.3

Simplifica $2 \ln (4)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5.1.1.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 \ln (8)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

Paso 5.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

Paso 5.4

Combina los términos opuestos en $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ .

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Paso 5.4.1

Resta $x \ln (64)$ de $x \ln (64)$ .

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Paso 5.4.2

Suma $0$ y $\ln (16)$ .

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Paso 5.5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

Paso 5.6

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

Paso 5.8

Resuelve $x$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ .

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

Paso 5.8.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{16}{x - 5} = 1$

Paso 5.8.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.8.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 5, 1$

Paso 5.8.3.2

Elimina los paréntesis.

$x - 5, 1$

Paso 5.8.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 5$

Paso 5.8.4

Multiplica cada término en $\frac{16}{x - 5} = 1$ por $x - 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.8.4.1

Multiplica cada término en $\frac{16}{x - 5} = 1$ por $x - 5$ .

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Paso 5.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Paso 5.8.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$16 = 1 (x - 5)$

Paso 5.8.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.4.3.1

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$16 = x - 5$

Paso 5.8.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.8.5.1

Reescribe la ecuación como $x - 5 = 16$ .

$x - 5 = 16$

Paso 5.8.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.8.5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16 + 5$

Paso 5.8.5.2.2

Suma $16$ y $5$ .

$x = 21$