Álgebra Ejemplos

$\sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3} - \sin (\frac{x}{2})$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $\sin (\frac{x}{2})$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $\sin (\frac{x}{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Paso 1.2

Suma $\sin (\frac{x}{2})$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Paso 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Paso 8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π - \frac{π}{3})$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $2 (π - \frac{π}{3})$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Paso 8.2.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.2.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Paso 8.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 8.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = 2 \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 8.2.2.1.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Paso 8.2.2.1.4

Multiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 8.2.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Paso 8.2.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 9

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 9.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 10

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$