Álgebra Ejemplos

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

Paso 1

Escribe $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ como una ecuación.

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $500 (0.04 - y^{2}) = x$ .

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $500 (0.04 - y^{2}) = x$ por $500$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $500 (0.04 - y^{2}) = x$ por $500$ .

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $500$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $0.04 - y^{2}$ por $1$ .

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

Paso 3.3

Resta $0.04$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

Paso 3.4

Divide cada término en $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Paso 3.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ como $- \frac{x}{500}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Paso 3.4.3.1.3

Divide $- 0.04$ por $- 1$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

Paso 3.6

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ .

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Paso 3.6.1

Para escribir $0.04$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

Paso 3.6.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.6.2.1

Combina $0.04$ y $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

Paso 3.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Paso 3.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.3.1

Factoriza $0.04$ de $- x + 0.04 \cdot 500$ .

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Paso 3.6.3.1.1

Factoriza $0.04$ de $- x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Paso 3.6.3.1.2

Factoriza $0.04$ de $0.04 \cdot 500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

Paso 3.6.3.1.3

Factoriza $0.04$ de $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

Paso 3.6.3.2

Factoriza $25$ de $- 25 x + 500$ .

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Paso 3.6.3.2.1

Factoriza $25$ de $- 25 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

Paso 3.6.3.2.2

Factoriza $25$ de $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

Paso 3.6.3.2.3

Factoriza $25$ de $25 (- x) + 25 (20)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

Paso 3.6.3.3

Combina exponentes.

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Paso 3.6.3.3.1

Multiplica $0.04$ por $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

Paso 3.6.3.3.2

Multiplica $- x + 20$ por $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

Paso 3.6.4

Reescribe $\frac{- x + 20}{500}$ como ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ .

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Paso 3.6.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- x + 20$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

Paso 3.6.4.2

Factoriza la potencia perfecta $10^{2}$ de $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

Paso 3.6.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

Paso 3.6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

Paso 3.6.6

Reescribe $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ como $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

Paso 3.6.7

Multiplica $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 3.6.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.6.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 3.6.8.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 3.6.8.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 3.6.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.6.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.6.8.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.6.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.6.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 3.6.8.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

Paso 3.6.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

Paso 3.6.10

Multiplica $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

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Paso 3.6.10.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Paso 3.6.10.2

Multiplica $10$ por $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

Paso 3.6.11

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Paso 3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Paso 3.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Paso 3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ es la inversa de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 20]$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{5 (- x + 20)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 (- x + 20) \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $5 (- x + 20) \geq 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1.1

Divide cada término en $5 (- x + 20) \geq 0$ por $5$ .

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Paso 5.3.2.1.2.1.2

Divide $- x + 20$ por $1$ .

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$- x + 20 \geq 0$

Paso 5.3.2.2

Resta $20$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 20$

Paso 5.3.2.3

Divide cada término en $- x \geq - 20$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide cada término de $- x \geq - 20$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Paso 5.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Paso 5.3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Paso 5.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.3.1

Divide $- 20$ por $- 1$ .

$x \leq 20$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 20]$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ no es igual al rango de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ no es una inversa de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

No hay una inversa

Paso 6