Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$ .

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $7$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{y^{5}}{10})}^{1} = x^{7}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$\frac{y^{5}}{10} = x^{7}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $10$ .

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} = 10 x^{7}$

Paso 3.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{10 x^{7}}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\sqrt[5]{10 x^{7}}$ .

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $10 x^{7}$ como $x^{5} \cdot (10 x^{2})$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $x^{5}$ .

$y = \sqrt[5]{10 (x^{5} x^{2})}$

Paso 3.4.4.1.2

Reordena $10$ y $x^{5}$ .

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot 10 x^{2}}$

Paso 3.4.4.1.3

Agrega paréntesis.

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot (10 x^{2})}$

Paso 3.4.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Paso 5.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{5}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{{(x^{5})}^{\frac{1}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{5 (\frac{1}{7})}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Paso 5.2.3.2.2

Combina $5$ y $\frac{1}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Paso 5.2.3.3.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{2}{7}}}$

Paso 5.2.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{5}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{{(x^{5})}^{\frac{2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{\frac{2}{7}}$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{5 (\frac{2}{7})}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $5 (\frac{2}{7})$ .

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Paso 5.2.3.5.2.1

Combina $5$ y $\frac{2}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{5 \cdot 2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Paso 5.2.3.5.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Paso 5.2.4

Combina $10$ y $\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{\frac{10 x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}}$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.5.1

Mueve $10^{\frac{2}{7}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 x^{\frac{10}{7}} \cdot 10^{- \frac{2}{7}}}$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $10$ por $10^{- \frac{2}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.5.2.1

Mueve $10^{- \frac{2}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

Paso 5.2.5.2.2

Multiplica $10^{- \frac{2}{7}}$ por $10$ .

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Paso 5.2.5.2.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

Paso 5.2.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + 1} x^{\frac{10}{7}}}$

Paso 5.2.5.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + \frac{7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Paso 5.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{- 2 + 7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Paso 5.2.5.2.5

Suma $- 2$ y $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Paso 5.2.6

Reescribe $10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}$ como ${(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{{(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}}$

Paso 5.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot (10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})$

Paso 5.2.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $10^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

Paso 5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7}} x^{\frac{2}{7}}$

Paso 5.2.10

Multiplica $x^{\frac{5}{7}}$ por $x^{\frac{2}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.10.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7} + \frac{2}{7}}$

Paso 5.2.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5 + 2}{7}}$

Paso 5.2.10.3

Suma $5$ y $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{7}{7}}$

Paso 5.2.10.4

Divide $7$ por $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x \sqrt[5]{10 x^{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{{(x \sqrt[5]{10 x^{2}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}$ como $10 x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{10 x^{2}}$ como ${(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {({(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} \cdot (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $x^{5}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2} x^{5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2 + 5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.3.3

Suma $2$ y $5$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Cancela el factor común.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4.1.2

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$