Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2, x, 1$

Paso 3.1.2

Como $2, x, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

Paso 3.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.1.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 3.1.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.1.6

El MCM de $2, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 3.1.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.1.8

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 3.1.9

El MCM para $2, x, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ por $2 x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ por $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.5

Multiplica $2 \frac{12}{x}$ .

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Paso 3.2.2.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Paso 3.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $x^{2} + 24 - 10 x$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 6, - 4$

Paso 3.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Paso 3.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.3.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 6, 4$

Paso 4

Obtén el dominio de $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{12}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Paso 6.1.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 2.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Paso 6.2.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $2.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Paso 6.3.3

$0.98$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Paso 6.4.3

$0.6875$ del lado izquierdo es mayor que $0.625$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $0 < x < 4$ o $x > 6$

Paso 8

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Paso 9