Álgebra Ejemplos

$8 x^{6} + 7 x^{3} - 1$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$8 {(x^{3})}^{2} + 7 x^{3} - 1$

Paso 2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $7$ de $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1$

Paso 3.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(8 x^{3} - 1) (x^{3} + 1)$

Paso 5

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$({(2 x)}^{3} - 1) (x^{3} + 1)$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$({(2 x)}^{3} - 1^{3}) (x^{3} + 1)$

Paso 7

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 8.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Paso 8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x^{3} + 1)$

Paso 9

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x^{3} + 1^{3})$

Paso 10

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))$

Paso 11.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$