Álgebra Ejemplos

$(\cot (θ) + 1) (\csc (θ) - 1) = 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (θ) + 1 = 0$

$\csc (θ) - 1 = 0$

Paso 2

Establece $\cot (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 2.1

Establece $\cot (θ) + 1$ igual a $0$ .

$\cot (θ) + 1 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $\cot (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cot (θ) = - 1$

Paso 2.2.2

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cotangente.

$θ = arccot (- 1)$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.2.4

La cotangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = \frac{3 π}{4} - π$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.2.5.1

Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Paso 2.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Paso 2.2.6

Obtén el período de $\cot (θ)$ .

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Paso 2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.7

El período de la función $\cot (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece $\csc (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 3.1

Establece $\csc (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\csc (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = 1$

Paso 3.2.2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

El valor exacto de $arccsc (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.4

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 3.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\csc (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (θ) + 1) (\csc (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$