Álgebra Ejemplos

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Paso 2

Expande $\ln (12^{3 x + 4})$ ; para ello, mueve $3 x + 4$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Paso 3

Reescribe $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ como $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ .

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Paso 4

Expande $\ln (2^{5 x + 3})$ ; para ello, mueve $5 x + 3$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Paso 5

Expande $\ln (3^{2 x - 1})$ ; para ello, mueve $2 x - 1$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Simplifica $(3 x + 4) \ln (12)$ .

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.1.1.2

Simplifica $3 \ln (12)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.1.1.3

Simplifica $4 \ln (12)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.4.1

Eleva $12$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.1.1.4.2

Eleva $12$ a la potencia de $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

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Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica $5 \ln (2)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.3

Simplifica $3 \ln (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.7

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Paso 6.2.1.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Paso 6.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Paso 6.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $8$ de $20736$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Paso 6.5.3

Multiplica $2592$ por $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Paso 6.6

Resta $\ln (7776)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Paso 6.7

Factoriza $x$ de $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $x$ de $x \ln (1728)$ .

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Paso 6.7.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (32)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Paso 6.7.3

Factoriza $x$ de $- x \ln (9)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Paso 6.7.4

Factoriza $x$ de $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Paso 6.7.5

Factoriza $x$ de $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Paso 6.8

Reescribe $- 1 \ln (32)$ como $- \ln (32)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Paso 6.9

Reescribe $- 1 \ln (9)$ como $- \ln (9)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Paso 6.10

Divide cada término en $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ por $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ y simplifica.

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Paso 6.10.1

Divide cada término en $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ por $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Paso 6.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

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Paso 6.10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Paso 6.10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Paso 6.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Paso 9