Álgebra Ejemplos

$30000 = 640 {(1.085)}^{x + 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ .

$640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$

Paso 2

Divide cada término en $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ por $640$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ por $640$ .

$\frac{640 \cdot {1.085}^{x + 1}}{640} = \frac{30000}{640}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $640$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{640 \cdot {1.085}^{x + 1}}{640} = \frac{30000}{640}$

Paso 2.2.1.2

Divide ${1.085}^{x + 1}$ por $1$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{30000}{640}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $30000$ y $640$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $80$ de $30000$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 (375)}{640}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $80$ de $640$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 \cdot 375}{80 \cdot 8}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 \cdot 375}{80 \cdot 8}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.085}^{x + 1} = \frac{375}{8}$

Paso 3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.085}^{x + 1}) = \ln (\frac{375}{8})$

Paso 4

Expande $\ln ({1.085}^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Simplifica $(x + 1) \ln (1.085)$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (1.085) + 1 \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Paso 5.1.2

Multiplica $\ln (1.085)$ por $1$ .

$x \ln (1.085) + \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (1.085) + \ln (1.085) - \ln (\frac{375}{8}) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{1.085}{\frac{375}{8}}) = 0$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (1.085) + \ln (1.085 (\frac{8}{375})) = 0$

Paso 8.2

Multiplica $1.085 (\frac{8}{375})$ .

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Paso 8.2.1

Combina $1.085$ y $\frac{8}{375}$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{1.085 \cdot 8}{375}) = 0$

Paso 8.2.2

Multiplica $1.085$ por $8$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{8.68}{375}) = 0$

Paso 8.3

Divide $8.68$ por $375$ .

$x \ln (1.085) + \ln (0.02314\overline{6}) = 0$

Paso 9

Resta $\ln (0.02314\overline{6})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$

Paso 10

Divide cada término en $x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$ por $\ln (1.085)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$ por $\ln (1.085)$ .

$\frac{x \ln (1.085)}{\ln (1.085)} = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.085)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (1.085)}{\ln (1.085)} = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Forma decimal:

$x = 46.16211200 \dots$