Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot - 2 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2} + x y}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Reordena $- 2 y^{2}$ y $x y$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $1$ de $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1 (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$\frac{x^{2} + (- 1 + 2) (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 1 (x y) + 2 (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{x^{2} - 1 x y + 2 x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x^{2} - 1 x y) + 2 x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x - 1 y) + 2 y (x - y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1 y$ .

$\frac{(x - 1 y) (x + 2 y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} x + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} x + x^{2} (y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} (y)$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot 2 = 2$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y}$

Paso 3.1.2

Reordena $2 y^{2}$ y $3 x y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Paso 3.1.3

Factoriza $3$ de $3 x y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 (x y) + 2 y^{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe $3$ como $1$ más $2$

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + (1 + 2) (x y) + 2 y^{2}}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1 (x y) + 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Paso 3.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + x y + 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Paso 3.1.7

Mueve los paréntesis.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + x y + 2 x y + 2 y^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{(x^{2} + x y) + 2 x y + 2 y^{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x (x + y) + 2 y (x + y)}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{(x + y) (x + 2 y)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{(x - y) (x + 2 y) x}{x^{2} (x + y) ((x + y) (x + 2 y))}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - y) (x + 2 y) x}{x^{2} (x + y) ((x + y) (x + 2 y))}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - y) x}{x^{2} (x + y) (x + y)}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $(x - y) x$ .

$\frac{x (x - y)}{x^{2} (x + y) (x + y)}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x + y) (x + y)$ .

$\frac{x (x - y)}{x ((x (x + y)) (x + y))}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - y)}{x ((x (x + y)) (x + y))}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - y}{(x (x + y)) (x + y)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Eleva $x + y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - y}{x ({(x + y)}^{1} (x + y))}$

Paso 5.2

Eleva $x + y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - y}{x ({(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1})}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - y}{x {(x + y)}^{1 + 1}}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x - y}{x {(x + y)}^{2}}$