Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt{x} + 8$ , $y \geq 8$

Paso 1

Escribe $y = \sqrt{x} + 8$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x} + 8$

Paso 2

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$

Paso 2.2

Convierte $[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Paso 3

Obtén la inversa.

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Paso 3.1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y} + 8$

Paso 3.2

Resuelve $y$

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Paso 3.2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y} + 8 = x$ .

$\sqrt{y} + 8 = x$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x - 8$

Paso 3.2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 8)}^{2}$

Paso 3.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.3.1

Simplifica ${(x - 8)}^{2}$ .

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Paso 3.2.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 8)}^{2}$ como $(x - 8) (x - 8)$ .

$y = (x - 8) (x - 8)$

Paso 3.2.4.3.1.2

Expande $(x - 8) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Paso 3.2.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Paso 3.2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 3.2.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 3.2.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Paso 3.2.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Paso 3.2.4.3.1.3.2

Resta $8 x$ de $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$

Paso 3.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Paso 4

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64, x \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Paso 5