Álgebra Ejemplos

${(4 y - 1)}^{2} > (2 y + 3) (8 y - 1)$

Paso 1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$(2 y + 3) (8 y - 1) < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica $(2 y + 3) (8 y - 1)$ .

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Paso 2.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 y + 3) (8 y - 1) < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 y + 3) (8 y - 1) < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.3

Expande $(2 y + 3) (8 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y (8 y - 1) + 3 (8 y - 1) < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y (8 y) + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y - 1) < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y (8 y) + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 8 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1.2.1

Mueve $y$ .

$2 \cdot 8 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 \cdot 8 y^{2} + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 y^{2} + 2 y \cdot - 1 + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$16 y^{2} - 2 y + 3 (8 y) + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.5

Multiplica $8$ por $3$ .

$16 y^{2} - 2 y + 24 y + 3 \cdot - 1 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$16 y^{2} - 2 y + 24 y - 3 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 2.4.2

Suma $- 2 y$ y $24 y$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < {(4 y - 1)}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(4 y - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(4 y - 1)}^{2}$ como $(4 y - 1) (4 y - 1)$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < (4 y - 1) (4 y - 1)$

Paso 3.2

Expande $(4 y - 1) (4 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 y (4 y - 1) - 1 (4 y - 1)$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 y (4 y) + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y - 1)$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 y (4 y) + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 \cdot 4 y \cdot y + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 \cdot 4 (y \cdot y) + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 4 \cdot 4 y^{2} + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 16 y^{2} + 4 y \cdot - 1 - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 16 y^{2} - 4 y - 1 (4 y) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 16 y^{2} - 4 y - 4 y - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 16 y^{2} - 4 y - 4 y + 1$

Paso 3.3.2

Resta $4 y$ de $- 4 y$ .

$16 y^{2} + 22 y - 3 < 16 y^{2} - 8 y + 1$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 4.1

Resta $16 y^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 y^{2} + 22 y - 3 - 16 y^{2} < - 8 y + 1$

Paso 4.2

Suma $8 y$ a ambos lados de la desigualdad.

$16 y^{2} + 22 y - 3 - 16 y^{2} + 8 y < 1$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $16 y^{2} + 22 y - 3 - 16 y^{2} + 8 y$ .

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Paso 4.3.1

Resta $16 y^{2}$ de $16 y^{2}$ .

$22 y - 3 + 0 + 8 y < 1$

Paso 4.3.2

Suma $22 y - 3$ y $0$ .

$22 y - 3 + 8 y < 1$

Paso 4.4

Suma $22 y$ y $8 y$ .

$30 y - 3 < 1$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 5.1

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$30 y < 1 + 3$

Paso 5.2

Suma $1$ y $3$ .

$30 y < 4$

Paso 6

Divide cada término en $30 y < 4$ por $30$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $30 y < 4$ por $30$ .

$\frac{30 y}{30} < \frac{4}{30}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 y}{30} < \frac{4}{30}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y < \frac{4}{30}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $30$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y < \frac{2 (2)}{30}$

Paso 6.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$y < \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15}$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y < \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15}$

Paso 6.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y < \frac{2}{15}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$y < \frac{2}{15}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{2}{15})$

Paso 8