Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1

Factoriza $x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $6 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 8}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 8}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 8$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 6 x + 8)}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} + 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $6$ .

$2, 4$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{x ((x + 2) (x + 4))}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x^{3} - 9 x}$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x \cdot x^{2} - 9 x}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x^{2} - 9)}$

Paso 2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x^{2} - 3^{2})}$

Paso 2.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x ((x + 3) (x - 3))}$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Paso 5.1

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2

Sustituye $0$ por $x$ en $\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Sustituye $0$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{(0 + 2) (0 + 4)}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.1.1

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2 (0 + 4)}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2.1.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{2 \cdot 4}{(- 1 (0) + 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 \cdot 4}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot (0 - 3) (0 - 3)}$

Paso 5.2.2.2.4

Eleva $0 - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{1} (0 - 3))}$

Paso 5.2.2.2.5

Eleva $0 - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{1} {(0 - 3)}^{1})}$

Paso 5.2.2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.4.1

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{8}{- 1 {(- 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{- 1 \cdot 9}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{8}{- 9}$

Paso 5.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{9}$

Paso 5.3

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(0, - \frac{8}{9})$

Paso 6