Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{6}} - 9$

Paso 1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{6}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{6}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{6}} + 9$

Paso 2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{6}}$ .

${(u)}^{3} - 3 {(u)}^{2} - 3 u + 9 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Elimina los paréntesis.

$u^{3} - 3 u^{2} - 3 u + 9 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(u^{3} - 3 u^{2}) - 3 u + 9 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u^{2} (u - 3) - 3 (u - 3) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 3$ .

$(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 3.5

Establece $u^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $u^{2} - 3$ igual a $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $u^{2} - 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} = 3$

Paso 3.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{3}$

Paso 3.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt{3}$

Paso 3.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt{3}$

Paso 3.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$u = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 5

Resuelve para $x^{\frac{1}{6}} = 3$ en $x$ .

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Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $6$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 3^{6}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 3^{6}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 3^{6}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$x = 729$

Paso 6

Resuelve para $x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{3}$ en $x$ .

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Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $6$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {\sqrt{3}}^{6}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {\sqrt{3}}^{6}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica ${\sqrt{3}}^{6}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$x = 3^{\frac{6}{2}}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 3^{\frac{3}{1}}$

Paso 6.2.2.1.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$x = 3^{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = 27$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$x = 729, 27, 27$