Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y}) = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y})$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt[3]{y}$ .

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{y} = 2 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y = {(2 x)}^{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$y = 2^{3} x^{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 8 x^{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 8 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x})}^{3}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Paso 5.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x}{8})$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = 8 (\frac{x}{8})$

Paso 5.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (8 x^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3}}$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3}}$

Paso 5.3.4

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (8 x^{3}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (8 x^{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 8 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3}$