Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} - 1} = 1$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = 1$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x + 1) (x - 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 1$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 1$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 1 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $(x + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (x + 1) (x - 1)$

Paso 3.3.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Paso 3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Paso 3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 = x^{2} - x + x - 1$

Paso 3.3.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$1 = x^{2} + 0 - 1$

Paso 3.3.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$1 = x^{2} - 1$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - 1 = 1$ .

$x^{2} - 1 = 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1 + 1$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} = 2$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$